図形の基礎 ☞P 117∼
⑴ 直線・線分・半直線
① 直線
② 線分
③ 半直線
⑵ 図形と記号 ① 三角形 ABC ➡ △ABC ② 角 BAC ➡ ∠BAC
③ 直線¬，mが平行 ➡ ¬™m ④ 直線 PQ，RS が垂直 ➡ PQ_RS
⑶ 円とおうぎ形
① 弧と弦…円周上の点Aから点Bまでの曲線部分を 弧 AB(A
͡
B)，線分 AB を弦 AB という。② 接線…直線¬と円Oが点Aで接するとき，直線¬を円Oの点Aにおける接線， 点Aを接点という。接線は，接点と円の中心を結ぶ半径に垂直(¬⊥OA)。
③ おうぎ形 円を2つの半径で区切った図形。
右のおうぎ形 OAB の半径をr，中心角を a°， 弧の長さを¬，面積をSとすると，
¬＝2∏r×360a ，S＝∏r 2×360 または，a S＝12 ¬r
図形の移動 ☞P 124∼
△ABCを 平行移動させたもの
△ABCを 直線¬を軸と して対称移動 させたもの
△ABCを 点Oを中心と して回転移動 させたもの
① 平行移動 ② 対称移動 ③ 回転移動
A ¬ D
C F B
A C B
D
E F B
C
A O E D
F
E
作図 ☞P 134∼
定規とコンパスを使って，次のような直線をかくことができる。 1
2
3
定規は直線をひくだけに使う
◆◇学習の要点◇◆
点A，Bを通り， 限りなくのびて いる直線 直線AB
A B
線分ABをBの 側へ限りなく のばしたもの 半直線AB
A B
m
¬
①，② ③ ④ R
Q P
S
B C
A
A
O中心角 B
S a°
¬ r 直線ABのうち，
AからBまでの 部分
点A，B間の距離 線分AB
A B
線分BAをAの 側へ限りなく のばしたもの 半直線BA
A B
点Oを通る垂線 点Pを通る垂線
５
章
５章 平面図形
学習 1 作図のしかた
定規とコンパスを利用して図をかくことを，作図という。
① 定規の役割
・直線をひくためだけに使う。 特に指示がない限り，目もりを使って長さを測ったりしない。 ※直線は2点で決まるので，2点がわかればそれらを通る直線がかける。
② コンパスの役割
・ある点を中心とする円(または円の一部)をかくために使う。 ※円は，ある点から等しい距離にある点の集合である。 中心と半径が決まれば円がかける。
・等しい長さをうつしとるときは，定規で長さを測るのではな くコンパスを利用する。
注意 中学の作図では特に指示がない限り，一定の大きさの角をかくときに，分度器で角度を測ったりはしない。
1
辺 AB を底辺として，辺 BC，CA が次のような長さになる△ABC を作図せよ。■
□ ⑴ □ ⑵
2
右の図のように，円Oの周上に点Aがある。円Oの周上に 点Aから右回りに点B∼Fを順にとり，正六角形 ABCDEF を作図せよ。■
□
3
右の図の△ABC は，AB＝AC，∠A＝90° の直角二等辺三 角形である。辺 BC 上にあって，∠PAB＝60° となるような 点Pを作図によって求めよ。□
点Oから等しい距離にある 点を無数にとっていくと， 点Oを中心とする円になる。
O
B C
C
A B
A
A B
B C
C
A
A
O
C
A B
3 作図
▶チェック問題 P144，145学習 2 垂直二等分線の作図
・線分の中点を通り，その線分に垂直な直線を，その線分の垂直二等分線という。
・線分 AB の垂直二等分線は，2点A，Bから等しい距離にある点の集合である。 右の図で，線分 AB の垂直二等分線を作図するには，
① 線分の両端の点A，Bをそれぞれ中心として，半径の等しい 円(の一部)をかく。
② この2つの円の交点をP，Qとし，直線 PQ をひく。 (直線 PQ が線分 AB の垂直二等分線)
➡上の方法で垂直二等分線がかける理由
ひし形の2本の対角線はそれぞれの中点で垂直に 交わるので，PA＝PB＝QA＝QB となる点P，Q をとり，ひし形 PAQB を作れば，直線 PQ が線分 AB の垂直二等分線になる。
手順
6
次の点を作図によって求めよ。■
□ ⑴ 直線¬上にあり，2点A，Bからの距離 □ ⑵ が等しい点P
円Oの周上にあり，2点A，Bからの距離 が等しい点P
4
次の図で，線分 AB の垂直二等分線を作図せよ。■
□ ⑴ □ ⑵
5
次の点を作図によって求めよ。■
□ ⑴ 線分 AB の中点M □ ⑵ 線分 AB を AP：PB＝3：1 に分ける点P
ひし形の 本の対角線は それぞれの中点で垂直に 交わる。
P
Q
A B
A B
A
B
A
B
A B
A
B
¬
A
B
O
学習 3 角の二等分線の作図
・1つの角を2等分する半直線を，その角の二等分線という。
・∠XOY の二等分線は，角をつくる2辺 OX，OY から等しい距離にある点の集合である。 右の図で，∠XOY の二等分線を作図するには，
① ∠XOY の頂点Oを中心とする円(の一部)をかき，角をつくる 2辺 OX，OY との交点をそれぞれA，Bとする。
② 点A，Bをそれぞれ中心として半径の等しい円(の一部)をかき， その交点をPとする。
③ 半直線 OP をひく。(半直線 OP が∠XOY の二等分線)
➡上の方法で角の二等分線がかける理由
OA＝OB となる点A，Bを辺 OX，OY 上にそれぞれとり，さらに PA＝PB となる点Pをとると，△OAP と△OBP は合同だから，
∠AOP＝∠BOP すなわち ∠XOP＝∠YOP となる。
なお，角の二等分線上の点P から辺OX，OY にひいた垂線をそ れぞれ PH，PI とすると，△OPH と△OPI は合同だから PH＝PI
で，角の二等分線上にある点Pは，2辺 OX，OY から等しい距離にある。 手順
7
次の図で，∠XOY の二等分線を作図せよ。■
□ ⑴ □ ⑵
8
右の図で，点Oは線分 AB 上の点である。 次の問いに答えよ。■
□ ⑴ ∠AOC の二等分線 OP，および∠BOC の 二等分線 OQ をそれぞれ作図せよ。
■
□ ⑵ ∠POQ の大きさを求めよ。
9
右の図で，3つの線分 AB，BC，CD から等しい距離にある 点Pを作図によって求めよ。■
□
H P
B I
A
O Y
X
X
O Y
X
O
Y
C
A O B
学習 4 垂線の作図
直線¬の垂線をひくには，次の2通りの場合がある。 直線¬上の点Oを通る場合
上の図で，直線¬上の点Oを通り，直線
¬に垂直な直線をひくには，
① 点Oを中心とする円(の一部)をかき，直線
¬との交点をA，Bとする。
② 点A，Bをそれぞれ中心として半径の等し い円(の一部)をかき，交点をPとする。
③ 直線 OP をひく。 (直線 OP が直線¬の垂線)
手順
直線¬上にない点Pを通る場合
上の図で，直線¬上にない点Pを通り， 直線¬に垂直な直線をひくには，
① 点Pを中心とする円(の一部)をかき，直 線¬との交点をA，Bとする。
② 点A，Bをそれぞれ中心として半径の等 しい円(の一部)をかき，交点をQとする。
③ 直線 PQ をひく。 (直線 PQ が直線¬の垂線)
手順
10
次の図で，直線¬の垂線を作図せよ。■
□ ⑴ 直線¬上の点Oを通る ■□ ⑵ 直線¬上にない点Pを通る
11
次のものを作図せよ。■
□ ⑴ △ABC で，辺 AB を底辺とみたときの □ ⑵ 高さを表す線分 CH
△ABC で，辺 BC を底辺とみたときの 高さを表す線分AH
線分 AB の垂直 二等分線と考える。
∠AOB＝180° の 二等分線と考える。
¬ O
¬
P
A
B C
A
B C
学習 5 角の作図
① 90°，45° の作図
90° の角 ➡ 直線¬上に点Oをとり，点Oを通り，直線¬に 垂直な直線 OP をひけば，90° の角が得られる。 45° の角 ➡ 垂線を利用して 90° の角をつくり，その90° の角
の二等分線 OQ をひけば，45° の角が得られる。
② 60°，30° の作図
60° の角 ➡ AP＝BP＝AB となるような点Pをとり，正三 角形 PAB を作れば，60° の角が得られる。 30° の角 ➡ 正三角形を利用して 60° の角をつくり，その 60°
の角の二等分線(例えば直線 AQ)をひけば，30° の角が得られる。
12
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 線分 AB 上にあって，∠RPQ＝45° と □ ⑵ なる点Rを作図によって求めよ。
直線¬の上側に点R，Sをとり，線分 PQ を1辺とする正方形 PQRS を作図せよ。
13
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 線分 AB の上側に点Cをとり，線分 AB を1辺 とする正三角形 ABC を作図せよ。
■
□ ⑵ 線分 AB の上側に点Pをとり，∠APB＝60°，
∠PAB＝30° となるような△PAB を作図せよ。
14
右の図は，∠BAC＝60°，∠B＝90° である直角三角形 ABC と，∠CAD＝90° である直角二等辺三角形 ACD を 組み合わせたものである。次の問いに答えよ。□ ⑴ 辺 CD 上に，∠EAC＝15° となるような点Eを作図 せよ。
□ ⑵ ⑴のとき，∠AEC の大きさを求めよ。
¬
P
Q
O 90° 45°
P
A B
60° Q
30° 60° 30°
¬ A
B
P Q ¬ P Q
A B
D
C B
A
学習 6 円と作図
15
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 3点A，B，Cを通る円を作図せよ。 ■□ ⑵ 円の中心Oを作図によって求めよ。
16
次の図で，中心Oが直線¬上にあり，2点A，Bを通る円を作図せよ。■
□ ⑴ □ ⑵
17
次のような円を作図せよ。■
□ ⑴ 点Pを中心とし，直線¬に接する円 □ ⑵ 点Aで直線¬に接し，点Bを通る円
【3点を通る円の作図】
右の図で，3点A，B，Cを通る円の中心をOとすると， 半径は等しいから，OA＝OB＝OC である。
OA＝OB より，中心Oは線分 AB の垂直二等分線上に あり，OB＝OC より，中心Oは線分 BC の垂直二等分線 上にある。
よって，3点A，B，Cを通る円を作図するには，線分 AB の垂直二等分線と線分 BC の垂直二等分線の交点を中 心Oとして，OA（または OB，OC）を半径とすればよい。
※線分 AB，BC，CA の垂直二等分線のうち2つをかいて，その交点を中心Oとすればよい。 A
O
B
C
C A
B
A
B
¬
B
¬ A
¬
P
B
¬ A
学習 7 応用的な作図⑴ ∼対称な点∼
⑴ 点 P と直線 ¬ について対称な点 Q の作図
① 点 P を通る直線 ¬ の垂線をひき，直線
¬との交点をとる。
② その点を中心として，点 P を通る円 をかき，垂線との交点のうち，P でな い方を Q とする。
① 直線 ¬ 上に適当な 2 点をとる。
② それらの 2 点を中心として，点 P を 通る円をそれぞれかき，2 つの円の交点 のうち，P でない方を Qとする。
※このことを利用して，線対称な図形を作図することができる。
⑵ 点 P と点 O について対称な点 Q の作図
点 O を中心として，点 P を通る円をかき，半直線 PO との 交点のうち，P でない方を Q とする。
※このことを利用して，点対称な図形を作図することができる。
18
次のような図形を作図せよ。■
□ ⑴ 直線¬について線対称な図形 ■□ ⑵ 点Oについて点対称な図形
19
右の図で，直線¬上に点Pをとり，AP＋PB の長さ がもっとも短くなるようにしたい。点Pを作図によって求めよ。
★
□
方法 方法
P
O
Q
¬
O
B
A
¬
学習 8 応用的な作図⑵ ∼図形の移動∼
問題 線分 AB を，回転移動によって線分 A'B' に移すとき，回 転の中心となる点 O を作図せよ。
解 点 O は，回転の中心だから， 2 点 A，A' から等しい距離にあ り，また， 2 点 B，B' からも等しい距離にある。したがって， 線分 AA' の垂直二等分線，線分 BB' の垂直二等分線をそれぞ れ作図し，その交点を O とすればよい。
答 右の図
20
下の⑴，⑵のそれぞれの図で，右側の図形は左側の図形を対称移動させたものである。このとき， 対称の軸¬をそれぞれ作図せよ。■
□ ⑴ □ ⑵
21
右の図の円 O' は，円Oを直線¬上の1点Pを回転 の中心として回転移動させたものである。点Pを作図によって求めよ。 ■
□
22
下の図1，図2について，次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 図1の線分 PQ は，線分 AB を回転移動させたものである。このとき，回転の中心Oを作図に よって求めよ。ただし，点Aと点P，点Bと点Qがそれぞれ対応する。
□ ⑵ 図2の△PQR は，△ABC を回転移動させたものである。このとき，回転の中心Oを作図によ って求めよ。
★
A'
B' A
B
O' O
¬
A
B P 図 Q
A
B
C
Q
P
R 図
発展ゼミ 1 外心
発展ゼミ 2 内心
① 多角形の頂点すべてを通る円を，その多角形の外接円といい， 外接円の中心を外心という。
② 三角形の外心は，三角形の3辺の垂直二等分線の交点である。 右の図で，辺 AB，BC，CA の垂直二等分線の交点Oが外心， OA，OB，OC が外接円の半径である。
△ABC の外接円を作図するには，
① 辺 AB，BC，CA の垂直二等分線のうち2つをかいて，その交点を外心Oとする。
② OA(または OB，OC)を半径とする円をかく。
★
作図の手順
① 多角形の内部ですべての辺に接する円を，その多角形の内接 円といい，内接円の中心を内心という。
② 三角形の内心は，三角形の3つの角の二等分線の交点である。 右の図で，∠A，∠B，∠C の二等分線の交点Iが内心，点 Iから辺 BC，CA，AB にひいた垂線 IP，IQ，IR が内接円の 半径である。
△ABC の内接円を作図するには，
① ∠A，∠B，∠C の二等分線のうち2つをかいて，その交点を内心Iとする。
② 点Iから辺 AB，BC，CA のいずれかに垂線をひき，その垂線の長さを半径とする円をかく。
★
作図の手順
問題１ 次の△ABC の外接円を作図せよ。
□ ⑴ □ ⑵
★
問題２ 右の△ABC の内接円を作図せよ。
★
□
A
O
B C
A
B C
A
B C
A
B P C
I
Q R
A
B C
発展ゼミ 3 垂心
発展ゼミ 4 重心
三角形の3つの頂点からそれぞれ対辺にひいた3本の垂線は1点で 交わる。この交わった点を，三角形の垂心という。
右の図で，頂点A，B，Cから辺 BC，CA，AB にそれぞれひいた 垂線 AP，BQ，CR の交点Hが垂心である。
△ABC の垂心Hを作図によって求めるには，頂点A，B， Cから辺 BC，CA，AB にそれぞれひいた垂線 AP，BQ，CR のうち 2つをかいて，その交点をHとすればよい。
★★
作図の手順
三角形の3つの頂点からそれぞれ対辺にひいた3本の※中線は 1点で交わる。この交わった点を，三角形の重心という。 右の図で，頂点A，B，Cから辺 BC，CA，AB にそれぞれひ いた中線 AM，BN，CL の交点Gが重心である。
△ABC の重心Gを作図によって求めるには，頂点 A，B，Cか ら 辺 BC，CA，AB に そ れ ぞ れ ひ い た 中 線 AM， BN，CL のうち2つをかいて，その交点をGとすればよい。
（中点は，各辺の垂直二等分線をかくことで求められる。）
★★
作図の手順
問題３ 右の△ABC について，次の問いに答えよ。
□ ⑴ 頂点Aから辺 BC にひいた垂線と辺 BC と の交点をP，頂点Bから辺 CA にひいた垂線 と辺 CA との交点をQとし，直線 AP，BQ の 交点をHとする。点Hの位置を作図によって 求めよ。
□⑵ 頂点Cから辺 AB にひいた垂線と辺 AB と の交点をRとする。直線 CR は点Hを通るこ とを，作図によって確かめよ。
★★
問題４ 右の△ABC について，次の問いに答えよ。
□ ⑴ 辺 BC の中点をM，辺 CA の中点をNとし， 線分 AM，BN の交点をGとする。点Gの位 置を作図によって求めよ。
□⑵ 辺 AB の中点をLとする。線分 CL は点G を通ることを，作図によって確かめよ。
★★
A
B P C
Q R
H
A
B C
※三角形の頂点と対辺の中点 を結ぶ線分を，中線という
A
B M C
L G N
B C
A
レベル１
1
次のものを作図せよ。■
□ ⑴ 線分 AB の垂直二等分線 ■□ ⑵ ∠AOB の二等分線
■
□ ⑶ 直線¬上の点Oを通る直線¬の垂線 ■□ ⑷ 直線¬上にない点Pを通る直線¬の垂線
2
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 図1の△ABC で，2点A，Cから等しい距離にあり，2辺 AB，AC からも等しい距離にある 点Pを作図によって求めよ。
■
□ ⑵ 図2の平行四辺形 ABCD で，辺 AB を底辺とみたとき，高さを表す線分 CH を作図せよ。
レベル２
3
右の図で，円Oの周上にあって，2直線¬，mから の距離が等しい点Pを作図によって求めよ。□
B
A
A O
B
O
¬
P
¬
図 A
B C
図 A D
B C
O
m
¬
チェック問題① 3 作図
レベル１
1
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ □ ⑵
■
□ ⑶ ■□ ⑷
線分 AB 上にあって，∠RPQ＝30° とな る点Rを作図によって求めよ。
直線¬の上側に点Rをとり，PR＝QR，
∠PRQ＝90° となる△PQR を作図せよ。
点Oについて線分 AB と対称な線分 A'B' を作図せよ。
2点A，Bを通り，中心Oが直線¬上にあ る円を作図せよ。
レベル２
3
右の図で，点Aを通る円Oの接線を作図せよ。 □2
右の図のような△ABC の紙を，頂点Bが点Pに重なる ように折り返すとき，折り目となる線分を作図せよ。 □¬ P
B A
Q ¬ P Q
B
A
O
A
B
¬
A
B C
P
O
A
チェック問題② 3 作図
レベル１
1
1
次の図で，∠x の大きさを求めよ。■
□ ⑴ PA は円Oの接線，Aはその接点 ■□ ⑵ PA，PB は円Oの接線，A，Bはその接点
2 2
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 半径 10 cm，中心角 72° のおうぎ形の弧の長さを求めよ。 〔山梨県〕
■
□ ⑵ 中心角 120°，弧の長さ 6∏ cm のおうぎ形の面積を求めよ。
■
□ ⑶ 右の図1で，円Oの半径が 10 cm， A
͡
B のうち短い方の長さが 8∏ cm のと き，影をつけた部分の面積を求めよ。〔国立高専〕
□ ⑷ 右の図2で，円Oの半径が5cm の とき，点Bをふくまない方の A
͡
C の長 さを求めよ。3 3
次の問いに答えよ。■
□ ⑴ 長方形 ABCD を図1のよ うに，頂点Cが頂点Aに重 なるように折る。折り目の 線分 PQ を，図2に作図せ
よ。 〔福井県〕
□⑵ △ABC を図3のように， 辺 BC 上の点Dを通る直線
¬を折り目として，頂点B が辺 AC 上にくるように折 り，点Bの移った点をEと する。折り目の直線¬を， 図4に作図せよ。
〔東京都独自〕 x
O
P A
Q
32°
x
B O
P A
54°
図
O B
A
図
O B C
A 36°
図 D' 図
C'
Q
P A D
B C
A D
B C
図 図
E
A
B D C
A
B D C
¬
章 末 問 題 ①
レベル２
1 1
右の図のように，直径 10 cm のパイプをロープ でたるまないようにしばりたい。ロープの結び目 の長さは考えないものとして，次の本数のパイプ をしばるのに必要なロープの長さをそれぞれ求めよ。 〔茗渓学園高〕
□ ⑴ 図1のように，パイプが6本のとき
□ ⑵ 図2のように，パイプが7本のとき
2 2
中心角が 40° のおうぎ形の池があって，弧の長さを測ったら 6∏ m で あった。この池のまわりには幅 3 m の道路がついている（かどの所は頂 点から3m になっている）。次の問いに答えよ。□ ⑴ 道路の面積を求めよ。
□ ⑵ 道路の中心を通って 1 周したときの道のりを求めよ。
3 3
1辺の長さが1cm の正三角形 PQR を，1辺の長さが1cm の 正六角形 ABCDEF の外側を反時計回りにすべることなく回転 させ，となりの辺へ動かしていく。右の図のように，辺 PR が 辺 AB と重なった状態から始めるものとして，次の問いに答えよ。 〔佐賀県〕
□ ⑴ 正三角形 PQR が動き出してから，頂点Qが頂点Cに一致 するまでに点Pが動いてできる線を作図せよ。
□⑵ 正三角形 PQR が正六角形 ABCDEF の外側を1周し，ふ たたび辺 PR が辺 AB と重なるまで動かしたとき，点Pが動 いてできる線の長さを求めよ。
4
4
次の問いに答えよ。□ ⑴ 図1で，点Aを頂点の1つ とし，対角線の1つが直線¬ 上にある正方形を作図せよ。
〔千葉県〕
□ ⑵ 図2で，線分 AB を1辺と し，∠ABC＝∠ACB＝75° と なるような△ABC を作図せ よ。 〔東京都独自・改〕
図 図
R
E C
D
PA Q
B
F
図 図
¬
A
A B
章 末 問 題 ②
チャレンジ レベル１
1
線分 AB 上に，両端の点と異なる 2 点 C，D があり，AB＝4CD である。線分 AC の中点を M， 線分 BD の中点を N としたら，MN＝6 cm となった。次のそれぞれの場合について，線分 AB の長 さを求めよ。□ ⑴ 4 点が A，C，D，B の順に並んでいるとき
□ ⑵ 4 点が A，D，C，B の順に並んでいるとき
2
右の図で，四角形 ABCD は円Oに内接しており，AB＝BC＝6 cm，∠ABC＝120° である。円Oの面積を求めよ。 〔早大学院高〕
□
3
右の図のように，縦 12 cm，横 20 cm の長方形から，1辺 6 cm の正方形を取り除いた図形があり，この図形の内側と 外側を，半径 2 cm の円 O が辺にそって 1 周する。このとき， 次の問いに答えよ。□ ⑴ 円 O が内側を動くとき，中心が動いたあとの線をかけ。
□ ⑵ ⑴でかいた線の長さを求めよ。
□ ⑶ 円 O が外側を動くとき，円 O が通ったあとを斜線で示せ。
□ ⑷ ⑶で示した部分の面積を求めよ。
4
右の図のように， 3 点 A，B，C がある。この平面上に 点 P をとって，PA＜PB，PC＜12 AC となるようにする。 このような条件で点 P が動くとき，点 P が通る点の集合は どんな図形になるか。斜線で示せ。□
5
右の図のように，半直線 OX，OY と 2 点 A，B がある。 このとき，中心が2点A，Bから等しい距離にあり，半 直線 OX，OY の両方に接する円を作図せよ。□
O O
C B
A O
D
章末チャレンジ問題①
チャレンジ レベル２
1
右の図のように，∠AOB の内部に 2 点 C，D がある。角の辺 OA 上に 点 E，辺 OB 上に点 F をとって，折れ線 CEFD を作る。この折れ線の長さがもっとも短くなるようにするには，点 E，F をど こにとればよいか。点 E，F を作図によって求める方法を答えよ。
□
2
右の図の川は，両岸 ¬ と m が平行で川幅は a である。この川に，岸に 垂直な橋 CD をかけて，川の両側にある A 地から B 地までの道のりがも っとも短くなるようにしたい。橋 CD の位置を決定する方法を答えよ。□
3
右の図の円 O の半径は 12 cm，円 P の半径は 4 cm である。円 P が円 O の外側を周にそって 1 回転したら，アの位置からイの位置 まで移動した。次の問いに答えよ。□ ⑴ ∠x の大きさを求めよ。
□ ⑵ 影の部分の面積を求めよ。
4
右の図のように，半径1cm の円の内部に1辺の長さが1cm の正 三角形を置く。この正三角形をすべることなく円の内部を矢印の方 向に転がす。正三角形がもとの位置にもどるまでに，点Pがえがく線の長さを求めよ。 〔巣鴨高〕
□
5
右の図のように，半径1cm の円Oと半径3cm の円 O' が点Aで 接している。2点P，Qが同時に点Aから出発し，点Pは円Oの 周上を一定の速さで動き，1周するのに3秒かかる。点Qは円 O' の周上を点Pと同じ向きに一定の速さで動き，1周するのに4秒 かかる。次の問いに答えよ。 〔土浦日大高〕□ ⑴ 2点P，Qが点Aではじめて出会うのは，2点が出発して から何秒後か。
□ ⑵ 2点P，Qが出発してから6秒後の線分 PQ の長さを求めよ。
□ ⑶ 線分 PQ の長さが3回目に⑵の長さと同じになるのは，2点 P，Qが出発してから何秒後か。
P P
O' A
P Q O
